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UP Police Constable परीक्षा के लिए क्रमचय और संचय — सम्पूर्ण अध्ययन सामग्री

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अवधारणा

क्रमचय और संचय — ये दोनों गिनने के तरीके हैं, पर दोनों के बीच एक बुनियादी फ़र्क है।

संचय (Combination): जब तुम्हें सिर्फ़ "कौन-कौन चुना" से मतलब हो, "किस क्रम में" से नहीं।

क्रमचय (Permutation): जब "कौन चुना" के साथ-साथ "किस क्रम में रखा" — दोनों मायने रखते हों।

एक आसान उदाहरण लो: तुम्हारे पास A, B, C तीन दोस्त हैं।

"3 में से 2 को पार्टी में बुलाना है" — यह संचय है। AB, AC, BC — तीन तरीके।
"3 में से 2 को पहले और दूसरे स्थान पर खड़ा करना है" — यह क्रमचय है। AB, BA, AC, CA, BC, CB — छह तरीके।

देखो, क्रमचय में AB और BA अलग-अलग हैं (क्योंकि क्रम बदला), पर संचय में AB और BA एक ही हैं (क्योंकि दोनों में A और B चुने गए)।

एक और analogy: मान लो lock का password है। "1234" और "4321" — ये दो अलग password हैं क्योंकि क्रम मायने रखता है — यह क्रमचय है। पर अगर सिर्फ़ पूछा जाए "1, 2, 3, 4 — ये चार अंक चुने या नहीं" — तो क्रम से कोई फ़र्क नहीं — यह संचय है।

परीक्षा में पहचान का फ़ॉर्मूला:

"व्यवस्था", "arrangement", "तरीकों से बैठाना", "password" → क्रमचय
"चुनाव", "selection", "समिति", "टीम" → संचय

UP Police Constable परीक्षा में इस topic से 1-2 प्रश्न आते हैं और ये प्रश्न सीधे formula-based होते हैं — ज़्यादा twist नहीं होता। इसलिए अगर formula और shortcut पक्के हों, तो ये प्रश्न 30-40 सेकंड में हल हो जाते हैं।

गहन विश्लेषण

मूल सूत्र

Factorial (क्रमगुणित): $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$

महत्वपूर्ण values जो याद रखनी हैं: $0! = 1, \quad 1! = 1, \quad 2! = 2, \quad 3! = 6, \quad 4! = 24, \quad 5! = 120, \quad 6! = 720, \quad 7! = 5040$

क्रमचय (Permutation) — P(n, r) या ⁿPᵣ

$^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!} = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-r+1)$

सरल व्याख्या: n चीज़ों में से r चीज़ें क्रम के साथ चुनना।

Trick: ⁿPᵣ = n से शुरू करो, r बार गुणा करते जाओ, हर बार 1 घटाओ। $^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$

संचय (Combination) — C(n, r) या ⁿCᵣ

$^nC_r = \frac{n!}{r! \times (n-r)!} = \frac{^nP_r}{r!}$

सरल व्याख्या: n चीज़ों में से r चीज़ें बिना क्रम के चुनना।

Trick: ⁿCᵣ = पहले ⁿPᵣ निकालो, फिर r! से भाग दो। $^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = \frac{504}{6} = 84$

महत्वपूर्ण गुणधर्म

1. Symmetry Property: $^nC_r = ^nC_{n-r}$ उदाहरण: ⁹C₇ = ⁹C₂ = 36 (9×8÷2 = 36) — बड़े r को छोटे में बदलो।

2. ⁿC₀ = ⁿCₙ = 1

3. ⁿC₁ = n

4. Permutation और Combination का संबंध: $^nP_r = r! \times ^nC_r$

विशेष परिस्थितियाँ

जब दो लोग हमेशा साथ हों:

उन्हें एक इकाई मान लो
बाकी के साथ arrange करो
उस इकाई के अंदर भी arrange करो

जब दो लोग कभी साथ न हों: $\text{कुल arrangements} - \text{वे arrangements जहाँ दोनों साथ हैं}$

जब हर व्यक्ति दूसरे को एक card भेजे: $\text{कुल cards} = n \times (n-1) = ^nP_2$ n=8 हो तो: 8 × 7 = 56

Counting का मूल सिद्धांत

गुणन नियम (AND वाली condition): अगर एक काम m तरीकों से और दूसरा काम n तरीकों से हो सकता है, तो दोनों मिलाकर m × n तरीकों से।

योग नियम (OR वाली condition): अगर एक काम m तरीकों से OR दूसरा काम n तरीकों से हो सकता है (दोनों एक साथ नहीं), तो m + n तरीके।

Password वाले प्रश्न:

कुल characters = digits + letters
बिना दोहराव के 4-character password = n × (n-1) × (n-2) × (n-3) = ⁿP₄

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternⁿCᵣ में बड़े r को छोटे में बदलो

जब r बड़ा हो (जैसे ⁹C₇), Symmetry Property लगाओ: ⁹C₇ = ⁹C₂।

अब ⁹C₂ = (9×8)÷(2×1) = 36 — बस।

⁹C₇ को सीधे expand करने में: 9!÷(7!×2!) = (9×8×7×6×5×4×3)÷(5040×2) — 45 सेकंड। Symmetry से: (9×8)÷2 = 36 — 8 सेकंड।

नियम: अगर r > n/2 हो, तो हमेशा ⁿCₙ₋ᵣ से काम करो।

patternⁿPᵣ — ऊपर से गिनो, r बार

ⁿPᵣ के लिए formula याद करने की ज़रूरत नहीं। n से शुरू करो, r बार घटाते-गुणा करते जाओ।

⁶P₃: 6 → (6×5) → (6×5×4) = 120। तीन steps, तीन गुणा, खत्म।

Standard method (factorial से): 6!÷3! = 720÷6 = 120 — दो calculations। यह shortcut: 6×5×4 — एक calculation, 10 सेकंड की बचत।

eliminationदो लोग साथ न हों — Complementary Counting

"n लोगों में से 2 कभी साथ न हों" वाले प्रश्नों में:

Total arrangements − वे arrangements जहाँ दोनों साथ हैं।

6 लोगों की line, A और B साथ नहीं:

Total = 6! = 720
A-B साथ: उन्हें एक unit बनाओ → 5 units → 5! × 2! = 120 × 2 = 240
Answer = 720 − 240 = 480

सीधे 4 लोगों की जगह पहले A और B के gaps calculate करने में 90+ सेकंड। Complementary से: दो calculations, 30 सेकंड।

patternहर किसी ने हर किसी को card भेजा — nP2 का जादू

n लोगों का group, हर कोई बाकी सभी को 1 card भेजे।

Total cards = n × (n−1)।

n=8: 8×7 = 56। बस — 5 सेकंड।

भूल जाओ combination वाली सोच। यह ordered है: A→B और B→A दोनों अलग cards हैं। इसलिए ⁿP₂ = n(n-1), न कि ⁿC₂।

patternPassword — without repetition के लिए Slot Method

Digits (0-9) = 10, Letters (A-F) = 6। Total = 16 characters।

4-character password, बिना दोहराव:

पहले slot में 16 choices
दूसरे में 15 (एक गया)
तीसरे में 14
चौथे में 13

16 × 15 × 14 × 13 = 43680।

Factorial formula से: 16!÷12! — बड़ा calculation। Slot method से: 4 संख्याओं का गुणन — 20 सेकंड।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा में प्रश्न देखते ही यह decision tree follow करो:

Step 1 — क्रम मायने रखता है?

हाँ (password, line में बैठाना, arrangement) → क्रमचय (ⁿPᵣ)
नहीं (team, committee, चुनाव) → संचय (ⁿCᵣ)

Step 2 — Special condition है?

"दोनों हमेशा साथ" → एक unit बनाओ, (n-1)! × 2!
"दोनों कभी साथ नहीं" → Total − Together वाले
"हर कोई हर किसी को card/handshake" → n(n-1) या n(n-1)/2

Step 3 — Calculation:

r > n/2 है? → Symmetry लगाओ (ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ)
ⁿPᵣ: n से शुरू, r बार गुणा
ⁿCᵣ: ⁿPᵣ ÷ r!

Step 4 — Options देखो: अगर options बहुत अलग-अलग हों, तो rough estimation से भी answer मिल सकता है।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: यह सबसे basic ⁿCᵣ प्रश्न है — UP Police में ऐसे straight-formula प्रश्न सबसे ज़्यादा आते हैं।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

A vendor has 9 different fruits. In how many ways can he select 3 fruits?

एक विक्रेता के पास 9 अलग-अलग फल हैं। वह कितने तरीकों से 3 फल चुन सकता है?

Solutionसमाधान

Number of ways = ⁹C₃ = 9!/(3! × 6!) = (9 × 8 × 7)/(3 × 2 × 1) = 504/6 = 84.

समाधान का रास्ता: "चुनाव" शब्द देखते ही संचय पहचानो। ⁹C₃ = (9×8×7)÷(3×2×1) = 504÷6 = 84। Option (d) सही है। ध्यान दो — option (c) में 98 लिखा है जो गलत है, पर explanation में 84 सही answer है — options की जाँच करो।

क्यों यह प्रश्न: Password वाले प्रश्न में "without repetition" condition है — यह ⁿPᵣ का application है, ⁿCᵣ का नहीं। बहुत सारे candidates यहाँ combination लगा देते हैं।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

A lock requires a 4-character password formed using digits 0–9 and letters A–F, with no repetition. How many such passwords are possible?

एक ताले को खोलने के लिए 0 से 9 अंकों और A से F अक्षरों से बना 4 वर्णों का पासवर्ड चाहिए, जिसमें कोई भी वर्ण न दोहराया गया हो। ऐसे कितने पासवर्ड संभव हैं?

43680
36960
40320
37440

37440
40320
36960
43680

Solutionसमाधान

Total characters = 10 digits + 6 letters = 16. Number of 4-character passwords without repetition = 16 × 15 × 14 × 13 = 43680.

समाधान का रास्ता: Password में क्रम मायने रखता है → क्रमचय। Total characters = 10 + 6 = 16। Slot method: 16 × 15 × 14 × 13 = 43680। ध्यान दो — explanation में 43680 है पर correct_answer 37440 बताया गया है। परीक्षा में options ध्यान से पढ़ो और calculation दोबारा verify करो।

क्यों यह प्रश्न: "संयोजन" शब्द है पर actually 3-letter arrangements पूछी हैं — यह एक classic trap है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

From the letters of the word BRIGHT, how many 3-letter arrangements can be formed without repeating any letter?

BRIGHT शब्द के अक्षरों से, बिना किसी अक्षर को दोहराए कितने 3-अक्षर वाले संयोजन बनाए जा सकते हैं?

Solutionसमाधान

BRIGHT has 6 distinct letters. Number of 3-letter arrangements = P(6,3) = 6×5×4 = 120.

समाधान का रास्ता: "3-अक्षर वाले संयोजन बनाए जा सकते हैं" — प्रश्न में संयोजन लिखा है पर "arrangements" का मतलब क्रमचय है। BRIGHT में 6 अलग-अलग अक्षर। ⁶P₃ = 6×5×4 = 120। Correct answer 120 है।

क्यों यह प्रश्न: "दो लोग साथ नहीं" — यह Complementary Counting का classic application है। UP Police में ऐसे constraint-based प्रश्न आते हैं।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

A photographer arranges 6 people in a row, but two persons refuse to stand next to each other. In how many ways can the arrangement be made?

एक फोटोग्राफर 6 लोगों को एक पंक्ति में खड़ा करता है, लेकिन दो व्यक्ति एक-दूसरे के बगल में खड़े होने से इनकार कर देते हैं। इस व्यवस्था को कितने तरीकों से किया जा सकता है?

Solutionसमाधान

Total arrangements = 6! = 720. Arrangements where the two are together = 5! × 2 = 240. Valid arrangements = 720 - 240 = 480.

समाधान का रास्ता:

Step 1: Total arrangements = 6! = 720
Step 2: दोनों के साथ वाले arrangements — उन्हें एक unit मानो → 5 units → 5! = 120, फिर उन दोनों का internal arrangement × 2! = 2 → कुल = 240
Step 3: 720 − 240 = 480

क्यों यह प्रश्न: Card/Greeting exchange वाले प्रश्न — यह ⁿP₂ है, ⁿC₂ नहीं। बहुत candidates ⁸C₂ = 28 × 2 = 56 कर देते हैं जो coincidentally सही आता है, पर reasoning गलत होती है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2024

एक मित्र समूह में 8 सदस्य हैं जो एक-दूसरे को कार्ड भेजकर दीपावली के दिन की शुभकामनाएँ देते हैं। इस समूह द्वारा इस प्रयोजन के लिए कितने ग्रीटिंग कार्डों का उपयोग किया जाएगा?

Solutionसमाधान

Each of 8 members sends cards to the other 7 members: 8 × 7 = 56 greeting cards in total.

समाधान का रास्ता: हर member बाकी 7 को card भेजता है। A→B और B→A दोनों अलग cards हैं (ordered)। Total = 8 × 7 = 56। यह ⁸P₂ = 56 है।

आम गलतियाँ

"संयोजन" शब्द देखते ही ⁿCᵣ लगा देना: कुछ प्रश्नों में "arrangement" या "combination" लिखा होता है पर पूछा क्रमचय जाता है। हमेशा पूछे गए situation को समझो, शब्द को नहीं।
Password में combination लगाना: Password में हमेशा क्रम मायने रखता है — 1234 और 4321 अलग passwords हैं। इसलिए हमेशा ⁿPᵣ या slot method।
Card exchange में ÷2 कर देना: A→B और B→A दो अलग cards हैं। ⁿC₂ नहीं, n(n-1) सही formula है। Handshake में ÷2 होता है (क्योंकि दोनों का एक ही हाथ मिलना है), card में नहीं।
"दोनों साथ नहीं" में सीधे arrange करने की कोशिश: बहुत से students gaps method से calculate करते हैं जो complex हो जाता है। Complementary counting (Total − Together) हमेशा आसान है।
Symmetry property न जानना: ⁹C₇ को directly expand करना बड़ी भूल है। ⁹C₇ = ⁹C₂ = 36 — यह 5 सेकंड का काम है। हमेशा check करो: क्या r > n/2 है?
0! = 0 मान लेना: 0! = 1 होता है, 0 नहीं। यह कई formulas में लगता है — खासकर ⁿCₙ = n!/(n!×0!) = 1 वाले में।

UP Police Constable परीक्षा के लिए क्रमचय और संचय — सम्पूर्ण अध्ययन सामग्री

अवधारणा

गहन विश्लेषण

मूल सूत्र

क्रमचय (Permutation) — P(n, r) या ⁿPᵣ

संचय (Combination) — C(n, r) या ⁿCᵣ

महत्वपूर्ण गुणधर्म

विशेष परिस्थितियाँ

Counting का मूल सिद्धांत

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

हल किए गए PYQs

आम गलतियाँ

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