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Agniveer Vayu गणित: लाभ और हानि — क्रय मूल्य, विक्रय मूल्य, छूट और अंकित मूल्य

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अवधारणा

लाभ और हानि का topic असल में एक ही चीज़ पर टिका है — क्रय मूल्य (Cost Price / CP) और विक्रय मूल्य (Selling Price / SP) के बीच का अंतर।

सोचो एक दुकानदार की दुकान है। वह कोई वस्तु ख़रीदता है — उस पर जो पैसा लगाता है वह CP है। फिर वह वस्तु बेचता है — जो मिलता है वह SP है।

अगर $SP > CP$ — लाभ (Profit)
अगर $SP < CP$ — हानि (Loss)
अगर $SP = CP$ — न लाभ न हानि

Agniveer Vayu में यह topic इसलिए ज़रूरी है क्योंकि यहाँ के प्रश्न सीधे formula पर नहीं, बल्कि backward calculation पर आते हैं — "SP दिया है, loss% दिया है, CP निकालो।" यही वह जगह है जहाँ अधिकांश उम्मीदवार फँसते हैं।

अवधारणा को पक्का करने का तरीका: लाभ/हानि हमेशा CP पर calculate होती है — SP पर नहीं। यह एक ऐसी बात है जो exam hall में भूलना बहुत महंगा पड़ता है।

मूल सूत्र:

$\text{Profit\%} = \frac{SP - CP}{CP} \times 100$

$\text{Loss\%} = \frac{CP - SP}{CP} \times 100$

अंकित मूल्य (Marked Price / MP) वह price है जो दुकानदार tag पर लिखता है। उस पर जो कटौती मिलती है वह छूट (Discount) है।

$SP = MP - \text{Discount}$

$\text{Discount\%} = \frac{MP - SP}{MP} \times 100$

ध्यान दो — Discount हमेशा MP पर calculate होता है, जबकि Profit/Loss हमेशा CP पर। यह दोनों की base अलग है — यही सबसे बड़ा confusion point है।

गहन विश्लेषण

मूल सूत्र और उनका उलटा प्रयोग

CP से SP निकालना:

$SP = CP \times \frac{100 + \text{Profit\%}}{100}$

$SP = CP \times \frac{100 - \text{Loss\%}}{100}$

SP से CP निकालना (Backward calculation — यही Agniveer में आता है):

$CP = SP \times \frac{100}{100 + \text{Profit\%}}$

$CP = SP \times \frac{100}{100 - \text{Loss\%}}$

देखो — जब SP और Profit%/Loss% दिए हों और CP निकालना हो, तब यह reverse formula सीधे use करो। Calculator पर depend मत करो — multiplier याद करो।

Multiplier Method (सबसे तेज़ तरीका)

हर Profit/Loss situation को एक multiplier में convert करो:

| स्थिति | Multiplier | |---|---| | 20% profit | 1.20 | | 20% loss | 0.80 | | 25% profit | 1.25 | | 25% loss | 0.75 | | 10% profit | 1.10 | | 10% loss | 0.90 |

$SP = CP \times \text{Multiplier}$

$CP = SP \div \text{Multiplier}$

उदाहरण: Rs. 480 में बेचने पर 20% loss — CP निकालो।

$CP = 480 \div 0.80 = 600$

यह एक step में हो जाता है। Standard method में तीन step लगते हैं।

प्रति-इकाई (Per Unit) Method

जब बहुत सारी वस्तुएँ एक साथ खरीदी और अलग-अलग बेची जाएँ — तब प्रति-वस्तु CP और SP निकालो, फिर % calculate करो।

उदाहरण: 9 किताबें Rs. 18 में खरीदी, Rs. 20 में बेची।

$CP_{per} = 18/9 = 2$
$SP_{per} = 20/9$
$\text{Profit\%} = \frac{20/9 - 2}{2} \times 100 = \frac{2/9}{2} \times 100 = \frac{100}{9} = 11\frac{1}{9}\%$

सावधानी: यहाँ 9 किताबें खरीदी गईं Rs. 18 में, लेकिन बेचते समय "Rs. 20" — यह per book है या total? प्रश्न ध्यान से पढ़ो। अगर ambiguous लगे तो per-unit calculate करो।

Discount और Profit का Combined सूत्र

जब MP, Discount%, और Profit% — तीनों एक साथ हों:

$CP = MP \times \frac{100 - \text{Discount\%}}{100 + \text{Profit\%}} \times \frac{100 + \text{Profit\%}}{100}$

असल में यह simply है:

$SP = MP \times \frac{100 - d}{100}$

$\text{Profit\%} = \frac{SP - CP}{CP} \times 100$

दोनों को अलग रखो — MP से SP निकालो (discount use करके), फिर CP और SP से profit निकालो।

Successive Discount

अगर दो discount दिए हों — पहले $d_1\%$ , फिर $d_2\%$ — तो effective discount:

$\text{Effective Discount} = d_1 + d_2 - \frac{d_1 \times d_2}{100}$

उदाहरण: 20% और 10% successive discount:

$= 20 + 10 - \frac{20 \times 10}{100} = 30 - 2 = 28\%$

यह एक ही step में effective discount देता है। Agniveer में यह सूत्र सीधे apply होता है।

False Weight वाले प्रश्न

कुछ प्रश्नों में दुकानदार गलत बाट (false weight) use करता है। अगर वह 1 kg की जगह $x$ grams देता है:

$\text{Profit\%} = \frac{1000 - x}{x} \times 100$

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternMultiplier One-Step

जब भी SP और Profit%/Loss% दिए हों और CP निकालना हो — सीधे divide करो।

Loss का multiplier = $(100 - \text{Loss\%})/100$

CP = SP ÷ Multiplier

उदाहरण: SP = 480, Loss = 20% Multiplier = 0.80 CP = 480 ÷ 0.80 = 600

Standard method: 3 steps (formula लिखो, substitute करो, calculate करो) → 40 seconds Multiplier method: 1 step → 10 seconds

patternप्रति-इकाई Split

जब "x items at Rs. A bought, sold at Rs. B" हो — पहले decide करो कि A और B किस basis पर हैं।

अगर दोनों total हों: $\text{Profit\%} = \frac{B-A}{A} \times 100$ अगर A total और B per-item हो: $CP_{per} = A/x$ , फिर compare करो।

उदाहरण: 9 books at Rs. 18 (total), sold at Rs. 20 (total): $\text{Profit\%} = \frac{20-18}{18} \times 100 = \frac{200}{18} = 11\frac{1}{9}\%$

यह प्रति-इकाई निकाले बिना भी होता है जब दोनों total हों। Standard method: per-unit निकालो, subtract करो, divide करो — 3 steps Direct ratio: 1 step → 15 seconds

patternSuccessive Discount Formula

दो discounts $d_1$ और $d_2$ को combine करने का सूत्र:

$\text{Effective} = d_1 + d_2 - \frac{d_1 \times d_2}{100}$

उदाहरण: 30% और 20%: $= 30 + 20 - \frac{30 \times 20}{100} = 50 - 6 = 44\%$

Standard method: SP निकालो step-by-step → 45 seconds Formula: 1 calculation → 12 seconds

vedicनिखिलम् गुणन — CP×Multiplier जल्दी

सूत्र: निखिलम् नवतश्चरमम् दशतः

जब $CP \times 1.2$ या $CP \times 0.8$ निकालना हो और CP का अंत 0 पर हो:

$600 \times 1.2$ : $600 + 600 \times 0.2 = 600 + 120 = 720$

$600 \times 0.8$ : $600 - 600 \times 0.2 = 600 - 120 = 480$

यह mentally किया जा सकता है।

Standard: long multiplication → 4 steps यह trick: 1 mental step → 8 seconds

eliminationElimination — Round Number CP

जब options में से CP का अनुमान लगाना हो — options को Multiplier से गुणा करो और देखो कौन-सा SP match करता है।

उदाहरण: SP = 720, Profit = 20%. Options में 500, 600, 650, 700 हों। $600 \times 1.2 = 720$ ✓

यह backward verification है। एक calculation में answer confirm हो जाता है। Standard algebra: 2-3 steps → 30 seconds Elimination by verification: 1 step per option → 10 seconds

तेज़-समाधान रूपरेखा

Agniveer Vayu के exam hall में लाभ-हानि का प्रश्न देखते ही यह decision tree follow करो:

Step 1: क्या CP और SP दोनों दिए हैं?

हाँ → सीधे $\text{Profit/Loss\%} = \frac{SP-CP}{CP} \times 100$ apply करो।

Step 2: क्या SP और Profit%/Loss% दिए हैं, CP निकालना है?

हाँ → Multiplier method: $CP = SP \div \text{multiplier}$ । 20% profit = 1.2, 20% loss = 0.8।

Step 3: क्या MP और Discount% दिए हैं?

हाँ → $SP = MP \times \frac{100-d}{100}$ , फिर CP से profit निकालो।

Step 4: क्या Multiple items हैं, total price दी है?

हाँ → Per-unit CP और SP निकालो, या total पर % calculate करो।

Step 5: दो successive discounts हैं?

हाँ → Formula: $d_1 + d_2 - \frac{d_1 \times d_2}{100}$

Golden Rule: अगर 30 seconds में answer नहीं मिला — options से backward verify करो। CP के options को multiplier से गुणा करो।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: यह Per-Unit calculation का classic case है जहाँ total CP और total SP दोनों दिए हैं। Agniveer में यह pattern बार-बार आता है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2023

If 9 books are purchased at Rs. 18 and sold at Rs 20, then the profit % is

12
11 1/9
12 1/9
11

Solutionसमाधान

CP per book = 18/9 = 2, SP per book = 20/9. Profit% = ((20/9 - 2)/2) × 100 = (2/9)/2 × 100 = 100/9 = 11 1/9%.

समाधान का रास्ता:

$CP_{total} = 18$ , $SP_{total} = 20$
$\text{Profit\%} = \frac{20-18}{18} \times 100 = \frac{200}{18} = \frac{100}{9} = 11\frac{1}{9}\%$
Note: 9 books की संख्या cancel हो जाती है जब दोनों total में हों। Per-unit निकालने की ज़रूरत नहीं।

क्यों यह प्रश्न: यह Backward Calculation का सबसे ज़रूरी type है। SP और Loss% दिए, पहले CP निकालो, फिर नई SP। दो-step problem जो multiplier method से एक-दो steps में हल हो जाती है।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2023

By selling an article for Rs. 480 a person lost 20%. For what should he sell it to make a profit of 20%?

Rs. 750
Rs. 700
Rs. 720
Rs. 675

Solutionसमाधान

SP = 480 at 20% loss means CP = 480/0.8 = 600. For 20% profit, new SP = 600 × 1.2 = Rs. 720.

समाधान का रास्ता:

Loss 20% → multiplier = 0.80
$CP = 480 \div 0.80 = 600$
20% profit चाहिए → $SP_{new} = 600 \times 1.20 = 720$
Answer: Rs. 720

क्यों यह प्रश्न: यह सबसे basic type है — CP और SP दोनों directly दिए हैं। Agniveer में यह आसान 1-mark question होता है जो 10 seconds में होना चाहिए।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2022

Kapil purchase the cycle for 2000 Rs and sold it for 2100 Rs. then profit % is:

Solutionसमाधान

Profit = 2100 − 2000 = 100. Profit % = (100/2000) × 100 = 5%.

समाधान का रास्ता:

$\text{Profit} = 2100 - 2000 = 100$
$\text{Profit\%} = \frac{100}{2000} \times 100 = 5\%$
Answer: 5%
यहाँ calculation बहुत simple है — 10 seconds से ज़्यादा मत लगाओ।

आम गलतियाँ

Profit/Loss को SP पर calculate करना: सबसे common mistake। याद रखो — Profit% और Loss% हमेशा CP पर होते हैं, SP पर नहीं। "SP पर 20% profit" जैसा कुछ नहीं होता — हमेशा CP base है।
Discount% को CP पर apply करना: Discount हमेशा Marked Price (MP) पर होता है। अगर MP नहीं दिया तो पहले निकालो, फिर discount apply करो।
Successive Discount को add करना: 20% और 10% का कुल discount 30% नहीं है — यह 28% है। Formula use करो: $d_1 + d_2 - \frac{d_1 \times d_2}{100}$ ।
Per-Unit vs Total में confusion: "9 books at Rs. 18" — यह total है। "Sold at Rs. 20" — यह total है या per book? प्रश्न दोबारा पढ़ो। गलत assumption से पूरा answer गलत होगा।
CP नहीं निकालते, SP से directly % guess करते हैं: जब SP और Profit% दोनों दिए हों — पहले CP निकालो, फिर आगे बढ़ो। CP निकाले बिना shortcut लेने की कोशिश में गलती होती है।
Loss को negative profit की तरह use करना: Loss% को भी positive number मानो। Formula में $\frac{100 - \text{Loss\%}}{100}$ में Loss% positive डालो, negative नहीं।

Agniveer Vayu गणित: लाभ और हानि — क्रय मूल्य, विक्रय मूल्य, छूट और अंकित मूल्य

अवधारणा

गहन विश्लेषण

मूल सूत्र और उनका उलटा प्रयोग

Multiplier Method (सबसे तेज़ तरीका)

प्रति-इकाई (Per Unit) Method

Discount और Profit का Combined सूत्र

Successive Discount

False Weight वाले प्रश्न

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

हल किए गए PYQs

आम गलतियाँ

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