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SBI PO अंकगणितीय शब्द समस्याएँ — प्रतिशत, अनुपात, औसत, गति-समय

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अवधारणा

अंकगणितीय शब्द समस्याएँ (Arithmetic Word Problems) वो प्रश्न हैं जहाँ गणितीय concept को किसी वास्तविक-जीवन के scenario में लपेटकर पूछा जाता है। SBI PO में ये प्रश्न इसलिए कठिन लगते हैं क्योंकि context बदलता रहता है — कभी दुकानदार है, कभी पाइप-टंकी, कभी कक्षा के छात्र।

लेकिन सच यह है: हर शब्द समस्या के नीचे एक या दो basic algebraic relations छिपे होते हैं। तुम्हारा काम है — वो relations जल्दी पहचानना और सही formula engine चलाना।

एक analogy सोचो: शब्द समस्या एक code-locked box की तरह है। Box का बाहरी रंग-रूप (कहानी) हर बार अलग होता है, लेकिन lock (mathematical structure) गिनती के ही types का होता है। एक बार lock-types याद हो गए, तो किसी भी box को खोल सकते हो।

SBI PO में Quant section में arithmetic word problems मुख्यतः इन क्षेत्रों से आती हैं:

इनमें से हर topic अलग-अलग पढ़ने से ज़्यादा ज़रूरी है इनके patterns को पहचानना — क्योंकि SBI PO के प्रश्न अक्सर दो topics को एक साथ mix करते हैं (जैसे percentage + profit, या ratio + mixture)।

गहन विश्लेषण

कार्य-समय: तीन-person problems की systematic approach

जब तीन persons A, B, C दिए जाएँ और पेयर-wise time दिया जाए, तो:

1a+1b+1c\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} निकालने का तरीका:

तीनों equations जोड़ो: (1a+1b)+(1b+1c)+(1c+1a)=1tAB+1tBC+1tCA\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) + \left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) + \left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right) = \frac{1}{t_{AB}} + \frac{1}{t_{BC}} + \frac{1}{t_{CA}}

2(1a+1b+1c)=1tAB+1tBC+1tCA2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) = \frac{1}{t_{AB}} + \frac{1}{t_{BC}} + \frac{1}{t_{CA}}

अब किसी एक person की efficiency = (A+B+C की combined efficiency) − (उस person के साथी-pair की efficiency)।

महत्वपूर्ण: इस type में calculator-free mental arithmetic के लिए LCM method ज़्यादा तेज़ है। LCM of (12, 15, 20) = 60 units। प्रतिदिन: AB = 5 units, BC = 4 units, CA = 3 units। कुल = 12 units = 2(A+B+C)। इसलिए A+B+C = 6 units/day।

लाभ-हानि: Successive Discount का multiplier trick

Marked Price पर पहले d1%d_1\% फिर d2%d_2\% discount:

Final Price=MP×(100−d1)100×(100−d2)100\text{Final Price} = MP \times \frac{(100-d_1)}{100} \times \frac{(100-d_2)}{100}

इसे decimal multipliers में convert करो: 0.9×0.85=0.7650.9 \times 0.85 = 0.765। यही effective discount है।

Markup + Successive Discount वाले प्रश्नों में:

SP=CP×(1+m%)×(1−d1%)×(1−d2%)\text{SP} = CP \times (1 + m\%) \times (1 - d_1\%) \times (1 - d_2\%)

जहाँ m%m\% markup है। CP निकालने के लिए SP को इस product से divide करो।

ब्याज: CI और SI का relationship

2 साल के लिए: CI−SI=P×(r100)2CI - SI = P \times \left(\frac{r}{100}\right)^2

यह formula बहुत powerful है। CI और SI दोनों दिए हों तो rate निकालो। यदि consecutive years के amounts दिए हों:

r%=A3−A2A2×100r\% = \frac{A_3 - A_2}{A_2} \times 100

क्योंकि तीसरे साल का interest, दूसरे साल के amount पर ही लगता है। यह shortcut एक step में rate दे देता है।

मिश्रण: Alligation Rule

दो items की cost c1c_1 और c2c_2 हों, और mean cost cmc_m हो:

Ratio=c2−cmcm−c1\text{Ratio} = \frac{c_2 - c_m}{c_m - c_1}

इसे "butterfly diagram" से याद रखो — cmc_m बीच में, ऊपर-नीचे cross-subtract।

Alligation केवल cost/price पर नहीं, किसी भी "weighted average" scenario में लगता है — profit%, concentration%, speed, age — सब जगह।

औसत: Addition/Removal का shortcut

नया member add होने पर:

नया member का value=नया average+n×(नया average−पुराना average)\text{नया member का value} = \text{नया average} + n \times (\text{नया average} - \text{पुराना average})

जहाँ nn = पुराने group का size।

या सीधे: नया average × (n+1) − पुराना average × n।

इसे memorize मत करो — logic समझो। नए average से पुराना total और नया total निकालो, difference = नए member की value।

Pipes and Cisterns: रिसाव (Leak) वाले problems

Filling pipe की rate = 1tf\frac{1}{t_f}। Leak के साथ filling rate = 1tfl\frac{1}{t_{fl}} (धीमी)।

Leak की rate=1tf−1tfl\text{Leak की rate} = \frac{1}{t_f} - \frac{1}{t_{fl}}

Leak की rate positive है (यह tank को खाली कर रहा है)। खाली करने का time = leak rate का reciprocal।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternLCM Work-Unit Method

जब भी कार्य-समय में fractional days आ रहे हों — LCM method लगाओ। Total work = LCM of all given days। हर person की daily work = Total ÷ उनके days।

उदाहरण: A+B=12, B+C=15, C+A=20। LCM(12,15,20) = 60 units। AB=5/day, BC=4/day, CA=3/day। जोड़ने पर 2(A+B+C)=12, अतः A+B+C=6/day। A alone = 6 − BC = 6 − 4 = 2 units/day। A का time = 60/2 = 30 days।

Standard method (fractions): 6 algebraic steps, ~90 seconds। LCM method: 4 arithmetic steps, ~35 seconds।

patternConsecutive Year CI से Rate निकालो

जब दो consecutive years के amounts दिए हों, rate एक division में निकलती है:

r=An+1−AnAn×100r = \frac{A_{n+1} - A_n}{A_n} \times 100

उदाहरण: 2 साल में ₹4840, 3 साल में ₹5324। Rate = (5324−4840)/4840 × 100 = 484/4840 × 100 = 10%।

Standard method (equations बनाओ, eliminate करो): ~3 steps, 60 seconds। यह shortcut: 1 step, 15 seconds।

eliminationAlligation Cross-Method

किसी भी weighted average problem में — चाहे profit% हो, concentration हो, या age हो — Alligation diagram सीधे ratio देता है।

उदाहरण (मिश्रण PYQ): 8% और 18% profit, overall 14%। Alligation: (18−14) : (14−8) = 4 : 6 = 2 : 3। 18% वाला हिस्सा = 3/5 × 1000 = 600 kg।

Equation method: variable x रखो, solve करो — ~4 steps, 50 seconds। Alligation: diagram draw करो, ratio देखो — 2 steps, 20 seconds।

patternSuccessive Discount का Single Multiplier

d1%d_1\% और d2%d_2\% के successive discounts का net effect:

Net Discount=d1+d2−d1×d2100\text{Net Discount} = d_1 + d_2 - \frac{d_1 \times d_2}{100}

उदाहरण: 10% फिर 15%। Net = 10 + 15 − 1.5 = 23.5%। Effective price = 76.5% of MP।

तुम सीधे 0.9 × 0.85 = 0.765 भी कर सकते हो। दोनों equivalent हैं — लेकिन multiplier method में calculator (mental) ज़्यादा तेज़ है। Step count: formula = 3, multiplier = 2।

estimationAverage Addition Formula — बिना algebra

नए member की value = नया average + (पुराना group size) × (नया average − पुराना average)।

उदाहरण: 20 छात्रों का average 18, teacher add होने पर average 19। Teacher = 19 + 20 × (19−18) = 19 + 20 = 39।

Standard (total difference method): 2 multiplications, 1 subtraction — ~30 seconds। यह formula: 1 multiplication + 1 addition — ~15 seconds।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा hall में शब्द समस्या देखते ही यह decision tree चलाओ:

Step 1 — Topic पहचानो (5 seconds): प्रश्न में key words देखो।

Step 2 — Method चुनो (5 seconds):

Step 3 — Numbers plug in करो और options verify करो (30-60 seconds): Options में से answer guess करके back-verify करना अक्सर forward-solving से तेज़ होता है — खासकर जब options clean numbers हों (1000, 30, 600 जैसे)।

एक golden rule: अगर 60 seconds में setup नहीं बना, तो mark करो और आगे बढ़ो। उस 60 seconds से 2 और सवाल हल हो सकते हैं।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: तीन-person कार्य-समय SBI PO में हर साल आता है। LCM method के बिना यह प्रश्न 3+ minutes ले सकता है।

समाधान का रास्ता: LCM(12, 15, 20) = 60 units। AB = 5, BC = 4, CA = 3 units/day। A+B+C = 6 units/day। A = (A+B+C) − BC = 6 − 4 = 2 units/day। Time = 60/2 = 30 दिन।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
A and B together can do a piece of work in 12 days. B and C together can do the same work in 15 days. C and A together can do it in 20 days. In how many days can A alone complete the work?
A और B मिलकर एक काम को 12 दिनों में पूरा कर सकते हैं। B और C मिलकर उसी काम को 15 दिनों में कर सकते हैं। C और A मिलकर उसे 20 दिनों में कर सकते हैं। A अकेले उस काम को कितने दिनों में पूरा कर सकता है?
  1. 20 days
  2. 24 days
  3. 30 days
  4. 36 days
  1. 20 दिन
  2. 24 दिन
  3. 30 दिन
  4. 36 दिन
Solutionसमाधान
Let A, B, C complete the work in a, b, c days respectively. Given: 1/a + 1/b = 1/12, 1/b + 1/c = 1/15, 1/c + 1/a = 1/20. Adding all equations: 2(1/a + 1/b + 1/c) = 1/12 + 1/15 + 1/20 = (5+4+3)/60 = 1/5. So 1/a + 1/b + 1/c = 1/10. Therefore, 1/c = 1/10 - 1/12 = (6-5)/60 = 1/60, so c = 60. Similarly, 1/a = 1/10 - 1/15 = (3-2)/30 = 1/30, so a = 30.
मान लें A, B, C अकेले कार्य को क्रमशः a, b, c दिनों में पूरा करते हैं। दिए गए समीकरणों को जोड़ने पर: 2(1/a + 1/b + 1/c) = 1/5। अतः 1/a + 1/b + 1/c = 1/10। इससे 1/a = 1/30, अतः A अकेले 30 दिन में कार्य पूरा करेगा।

क्यों यह प्रश्न: Markup + successive discounts का combination SBI PO में frequently आता है। Multiplier chain सबसे fast approach है।

समाधान का रास्ता: SP = CP × 1.4 × 0.9 × 0.85 = CP × 1.071। CP = 1071/1.071 = 1000।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
A shopkeeper marks up an article by 40% above cost price. He then gives successive discounts of 10% and 15% on the marked price. If his final selling price is ₹1071, what was the cost price of the article?
एक दुकानदार किसी वस्तु का मूल्य लागत मूल्य से 40% अधिक अंकित करता है। फिर वह अंकित मूल्य पर क्रमशः 10% और 15% की छूट देता है। यदि उसका अंतिम विक्रय मूल्य ₹1071 है, तो वस्तु का लागत मूल्य क्या था?
  1. ₹950
  2. ₹1000
  3. ₹1050
  4. ₹1100
  1. ₹950
  2. ₹1000
  3. ₹1050
  4. ₹1100
Solutionसमाधान
Let CP = x. MP = 1.4x. After 10% discount: 0.9 × 1.4x = 1.26x. After 15% discount: 0.85 × 1.26x = 1.071x. Given 1.071x = 1071, so x = 1000.
मान लें कि क्रय मूल्य = x। अंकित मूल्य = 1.4x। 10% छूट के बाद: 0.9 × 1.4x = 1.26x। 15% छूट के बाद: 0.85 × 1.26x = 1.071x। दिया गया 1.071x = 1071, अतः x = 1000।

क्यों यह प्रश्न: Alligation को profit% पर apply करना — यह SBI PO का favorite twist है।

समाधान का रास्ता: Alligation: (18−14) : (14−8) = 4 : 6 = 2 : 3। 18% वाला भाग = 3/(2+3) × 1000 = 600 kg।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
A merchant has 1000 kg of sugar, part of which he sells at 8% profit and the rest at 18% profit. He gains 14% on the whole. The quantity sold at 18% profit is:
एक व्यापारी के पास 1000 kg चीनी है, जिसका कुछ हिस्सा वह 8% लाभ पर और बाकी 18% लाभ पर बेचता है। पूरे सौदे पर उसे 14% का लाभ होता है। 18% लाभ पर बेची गई चीनी की मात्रा कितनी है?
  1. 400 kg
  2. 500 kg
  3. 600 kg
  4. 700 kg
  1. 400 kg
  2. 500 kg
  3. 600 kg
  4. 700 kg
Solutionसमाधान
Let x kg be sold at 18% profit and (1000-x) kg at 8% profit. Using alligation: 8% and 18% profits with average 14%. Difference from mean: |14-8| = 6 and |18-14| = 4. Ratio = 4:6 = 2:3. So quantity at 18% profit = 3/(2+3) × 1000 = 600 kg.
मान लें x kg चीनी 18% लाभ पर बेची गई। मिश्रण सूत्र से: 8% और 18% लाभ का औसत 14%। अनुपात 2:3। अतः 18% लाभ पर बेची गई मात्रा = 3/5 × 1000 = 600 kg।

क्यों यह प्रश्न: Consecutive year amounts से rate निकालना — यह CI का fastest shortcut है और SBI PO में regularly test होता है।

समाधान का रास्ता: Rate = (5324 − 4840)/4840 × 100 = 484/4840 × 100 = 10%। फिर P = 4840/(1.1)² = 4840/1.21 = 4000।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
A sum of money invested at compound interest amounts to ₹4840 in 2 years and to ₹5324 in 3 years. What is the rate of interest per annum?
चक्रवृद्धि ब्याज पर लगाई गई कोई राशि 2 साल में ₹4840 और 3 साल में ₹5324 हो जाती है। प्रति वर्ष ब्याज दर क्या है?
  1. 8%
  2. 10%
  3. 12%
  4. 15%
  1. 8%
  2. 10%
  3. 12%
  4. 15%
Solutionसमाधान
Interest for the 3rd year = 5324 - 4840 = ₹484. This interest is on ₹4840 for 1 year. Rate = (484/4840) × 100 = 10%. We can verify: If P is principal and r = 10%, then P(1.1)² = 4840 and P(1.1)³ = 5324. From first equation: P = 4840/1.21 = 4000. Check: 4000(1.1)³ = 4000 × 1.331 = 5324. ✓
तीसरे वर्ष का ब्याज = 5324 - 4840 = ₹484। यह ब्याज ₹4840 पर 1 वर्ष का है। दर = (484/4840) × 100 = 10%। सत्यापन: मूलधन = 4000, 4000(1.1)² = 4840 और 4000(1.1)³ = 5324। ✓

क्यों यह प्रश्न: औसत में addition का classic form — formula याद हो तो 15 seconds, नहीं तो 60 seconds।

समाधान का रास्ता: Teacher = 19 + 20 × (19 − 18) = 19 + 20 = 39 वर्ष।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
The average age of 20 students in a class is 18 years. If the teacher's age is included, the average becomes 19 years. What is the age of the teacher?
एक कक्षा में 20 छात्रों की औसत आयु 18 वर्ष है। यदि शिक्षक की आयु भी शामिल कर ली जाए, तो औसत 19 वर्ष हो जाता है। शिक्षक की आयु क्या है?
  1. 38 years
  2. 39 years
  3. 40 years
  4. 41 years
  1. 38 वर्ष
  2. 39 वर्ष
  3. 40 वर्ष
  4. 41 वर्ष
Solutionसमाधान
Sum of ages of 20 students = 20 × 18 = 360 years. When teacher is included, sum becomes 21 × 19 = 399 years. Therefore, teacher's age = 399 - 360 = 39 years.
20 छात्रों की आयु का योग = 20 × 18 = 360 वर्ष। शिक्षक को मिलाने पर योग = 21 × 19 = 399 वर्ष। अतः शिक्षक की आयु = 399 - 360 = 39 वर्ष।

क्यों यह प्रश्न: CI और SI का direct comparison — 2-year formula याद हो तो यह trivial है।

समाधान का रास्ता: SI = 8000 × 15 × 2 / 100 = ₹2400। CI दिया है ₹2580। Verification: CI − SI = 2580 − 2400 = 180 = P × (r/100)² = 8000 × 0.0225 = 180। ✓

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
The compound interest on ₹8000 for 2 years at 15% per annum is ₹2580. What would be the simple interest on the same principal, rate and time?
₹8000 पर 2 वर्ष के लिए 15% प्रति वर्ष की दर से चक्रवृद्धि ब्याज ₹2580 है। उसी मूलधन, दर और समय पर साधारण ब्याज कितना होगा?
  1. ₹2400
  2. ₹2420
  3. ₹2450
  4. ₹2500
  1. ₹2400
  2. ₹2420
  3. ₹2450
  4. ₹2500
Solutionसमाधान
Given CI = ₹2580 for 2 years. For same principal, rate and time, SI = PRT/100 = 8000×15×2/100 = ₹2400. We can verify: CI for 2 years = P[(1+R/100)² - 1] = 8000[(1.15)² - 1] = 8000[1.3225 - 1] = 8000×0.3225 = ₹2580. ✓
दिया गया CI = ₹2580। समान मूलधन, दर और समय के लिए SI = PRT/100 = 8000×15×2/100 = ₹2400। सत्यापन: CI = 8000[(1.15)² - 1] = 8000×0.3225 = ₹2580। ✓

क्यों यह प्रश्न: Mixture में पानी add करके अनुपात बदलना — दूध fixed रहता है, यही key insight है।

समाधान का रास्ता: दूध = 70L (fixed)। नया अनुपात 7:3 चाहिए, अतः पानी = 70 × 3/7 = 30L। पहले से पानी = 10L। Add करना है = 30 − 10 = 20L।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
In a mixture of 80 liters, the ratio of milk to water is 7:1. How much water should be added to make the ratio of milk to water 7:3?
80 लीटर के एक मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 7:1 है। दूध और पानी का अनुपात 7:3 करने के लिए कितना पानी मिलाया जाए?
  1. 20 liters
  2. 30 liters
  3. 25 liters
  4. 15 liters
  1. 20 लीटर
  2. 30 लीटर
  3. 25 लीटर
  4. 15 लीटर
Solutionसमाधान
Initial milk = 70L, water = 10L. Let x liters of water be added. New ratio: 70:(10+x) = 7:3. Cross multiply: 70×3 = 7×(10+x). 210 = 70 + 7x. Therefore x = 20 liters.
प्रारंभिक दूध = 70L, पानी = 10L। माना x लीटर पानी मिलाया जाए। नया अनुपात: 70:(10+x) = 7:3। गुणा करने पर: 70×3 = 7×(10+x)। 210 = 70 + 7x। अतः x = 20 लीटर।

क्यों यह प्रश्न: Leak + pipe का combination pipes & cisterns का standard SBI PO format है।

समाधान का रास्ता: Pipe rate = 1/12। Effective rate (leak के साथ) = 1/15। Leak rate = 1/12 − 1/15 = 5/60 − 4/60 = 1/60। Leak अकेले 60 घंटे में empty करेगा।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न
A pipe can fill a tank in 12 hours. Due to a leak at the bottom, it takes 15 hours to fill the tank. In how many hours can the leak empty the full tank?
एक पाइप किसी टंकी को 12 घंटे में भर सकता है। तली में रिसाव होने के कारण टंकी भरने में 15 घंटे लग जाते हैं। रिसाव भरी हुई टंकी को कितने घंटों में खाली कर देगा?
  1. 60 hours
  2. 48 hours
  3. 36 hours
  4. 45 hours
  1. 60 घंटे
  2. 48 घंटे
  3. 36 घंटे
  4. 45 घंटे
Solutionसमाधान
Rate of filling = 1/12 tank/hour. Rate of filling with leak = 1/15 tank/hour. Rate of leakage = 1/12 - 1/15 = 5/60 - 4/60 = 1/60 tank/hour. Time to empty full tank = 60 hours.
भरने की दर = 1/12 टैंक/घंटा। रिसाव के साथ भरने की दर = 1/15 टैंक/घंटा। रिसाव की दर = 1/12 - 1/15 = 1/60 टैंक/घंटा। पूरा टैंक खाली करने का समय = 60 घंटे।

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