SSC CGL सांख्यिकी — सहसंबंध एवं समाश्रयण (Correlation & Regression)

अवधारणा

दो चर राशियों के बीच संबंध को मापना — यही सहसंबंध और समाश्रयण का मूल उद्देश्य है।

सहसंबंध (Correlation) बताता है कि दो variables एक साथ किस दिशा में और कितनी तीव्रता से बदलते हैं। यह केवल संबंध की ताकत और दिशा बताता है — कारण-कार्य (cause-effect) नहीं।

समाश्रयण (Regression) एक कदम आगे जाता है। यह एक variable की value दूसरे के आधार पर predict करने का तरीका देता है।

एक सरल सादृश्य लो: तापमान बढ़ने पर आइसक्रीम की बिक्री बढ़ती है। सहसंबंध यह बताएगा कि "हाँ, इनमें धनात्मक संबंध है, और यह संबंध कितना मजबूत है।" समाश्रयण यह बताएगा कि "40°C पर बिक्री लगभग कितनी units होगी।"

मुख्य अंतर याद करो:

• Correlation: सममित (X और Y का correlation = Y और X का correlation)
• Regression: असममित (Y on X की रेखा ≠ X on Y की रेखा)
• Correlation: इकाई-मुक्त (unit-free) measure
• Regression: इकाई पर निर्भर

SSC CGL में इस topic से हर साल 3-5 प्रश्न आते हैं। अधिकतर प्रश्न formula-based होते हैं — सूत्र याद हों और एक-दो steps सही हों, तो 40-50 seconds में उत्तर मिल जाता है।

गहन विश्लेषण

पियर्सन का सहसंबंध गुणांक (Karl Pearson's Correlation Coefficient)

$r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y}$

जहाँ:

$\text{Cov}(X,Y) = \frac{\Sigma(x - \bar{x})(y - \bar{y})}{n}$

Computational formula (जो परीक्षा में ज्यादा काम आता है):

$r = \frac{n\Sigma xy - \Sigma x \cdot \Sigma y}{\sqrt{[n\Sigma x^2 - (\Sigma x)^2][n\Sigma y^2 - (\Sigma y)^2]}}$

r की सीमाएं (Properties):

• $-1 \leq r \leq +1$ — यह absolute rule है, कभी इससे बाहर नहीं जाता।
• $r = +1$: पूर्ण धनात्मक सहसंबंध
• $r = -1$: पूर्ण ऋणात्मक सहसंबंध
• $r = 0$: कोई रैखिक सहसंबंध नहीं (non-linear हो सकता है)
• $r$ change of origin और scale से प्रभावित नहीं होता।

स्पीयरमैन का कोटि सहसंबंध (Spearman's Rank Correlation)

जब data qualitative हो या rank में दिया हो:

$r_s = 1 - \frac{6\Sigma d^2}{n(n^2 - 1)}$

जहाँ $d$ = दो ranks का अंतर, $n$ = observations की संख्या।

Tied ranks का मामला: जब दो observations बराबर हों, तो उन्हें average rank दो, और correction factor जोड़ो:

$r_s = 1 - \frac{6[\Sigma d^2 + \frac{1}{12}(m_1^3 - m_1) + \frac{1}{12}(m_2^3 - m_2) + \ldots]}{n(n^2-1)}$

SSC CGL में tied ranks वाला formula rarely आता है — focus simple formula पर रखो।

समाश्रयण रेखाएं (Lines of Regression)

दो रेखाएं होती हैं:

1. Y on X (Y की X पर निर्भरता): $Y - \bar{y} = b_{yx}(X - \bar{x})$
2. X on Y (X की Y पर निर्भरता): $X - \bar{x} = b_{xy}(Y - \bar{y})$

Regression Coefficients:

$b_{yx} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X^2} = r \cdot \frac{\sigma_Y}{\sigma_X}$

$b_{xy} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_Y^2} = r \cdot \frac{\sigma_X}{\sigma_Y}$

Computational formula:

$b_{yx} = \frac{n\Sigma xy - \Sigma x \cdot \Sigma y}{n\Sigma x^2 - (\Sigma x)^2}$

सबसे महत्वपूर्ण संबंध — r और regression coefficients

$r = \sqrt{b_{yx} \times b_{xy}}$

यह सूत्र SSC CGL में सबसे ज्यादा बार आता है। इसे कंठस्थ करो।

Sign of r: दोनों regression coefficients का sign एक ही होता है, और r का sign भी वही होता है।

दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु

दोनों समाश्रयण रेखाएं हमेशा $(\bar{x}, \bar{y})$ पर मिलती हैं। यह एक absolute property है।

Angle between regression lines और r का संबंध:

• $r = \pm 1$: दोनों रेखाएं coincide (एक ही रेखा)
• $r = 0$: दोनों रेखाएं perpendicular
• $|r|$ बड़ा होने पर: रेखाएं एक-दूसरे के करीब होती हैं

Regression Coefficients की सीमाएं

एक critical property जो परीक्षा में trap के रूप में आती है:

$b_{yx} \times b_{xy} = r^2 \leq 1$

इसलिए दोनों regression coefficients एक साथ 1 से बड़े नहीं हो सकते। यदि $b_{yx} = 2$ हो, तो $b_{xy} \leq 0.5$ होना जरूरी है।

न्यूनतम वर्ग विधि (Method of Least Squares)

Regression line $Y = a + bX$ में constants a और b इस प्रकार निकलते हैं:

$b = \frac{n\Sigma xy - \Sigma x \cdot \Sigma y}{n\Sigma x^2 - (\Sigma x)^2}$

$a = \bar{y} - b\bar{x}$

यह method "sum of squared residuals को minimize करता है" — इसीलिए इसका नाम Least Squares है।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा हॉल में सहसंबंध-समाश्रयण का प्रश्न देखते ही यह sequence follow करो:

Step 1 — प्रश्न की type पहचानो:

• क्या दो regression lines दी हैं? → $r = \sqrt{b_{yx} \times b_{xy}}$ सूत्र लगाओ।
• क्या $(\bar{x}, \bar{y})$ और line equation दी है? → Mean-point property से substitute करो।
• क्या Variance, Covariance दिए हैं? → पहले standard deviations निकालो, फिर $r = \text{Cov}/(\sigma_X \sigma_Y)$।
• क्या raw data ($\Sigma x$, $\Sigma y$, $\Sigma x^2$, $\Sigma xy$, $n$) दिया है? → Computational formula लगाओ।

Step 2 — Sign check करो: दोनों regression coefficients का sign देखो। r का sign वही होगा।

Step 3 — Range check करो: $-1 \leq r \leq +1$। अगर answer इससे बाहर है, calculation में गलती है।

Step 4 — Options से eliminate करो: अगर calculation time-consuming लगे, तो options में $b_{yx} \times b_{xy}$ check करो।

Target time: इस chapter के प्रश्न 45-60 seconds में होने चाहिए।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: Mean-point property की सीधी application। यह property याद न हो तो simultaneous equations solve करने पड़ते हैं — 3 minutes लग जाते हैं।

समाधान का रास्ता: दोनों regression lines $(\bar{x}, \bar{y})$ से गुजरती हैं। दिया है $\bar{x} = 4$, $\bar{y} = 6$, equation $Y = 2 + bX$। बस substitute: $6 = 2 + b(4) \Rightarrow 4b = 4 \Rightarrow b = 1$।

क्यों यह प्रश्न: r की range एक fundamental property है। Options में -2 to +2 का trap हमेशा रहता है।

समाधान का रास्ता: यह definition-based है। $r$ Cauchy-Schwarz inequality से bounded है: $-1 \leq r \leq +1$। Option (a) "-2 and +2" trap है — यह regression coefficients के range के बारे में भ्रम से आता है।

क्यों यह प्रश्न: दो regression lines से r निकालना — यह SSC CGL का सबसे frequent question type है।

समाधान का रास्ता: $y = 2x + 3$ से $b_{yx} = 2$। $x = 0.4y + 1$ से $b_{xy} = 0.4$। $r = \sqrt{2 \times 0.4} = \sqrt{0.8} \approx 0.894$। दोनों coefficients positive हैं, इसलिए $r > 0$।

क्यों यह प्रश्न: Variance और Covariance से r निकालना — common trap है कि variance को directly use करें बजाय standard deviation के।

समाधान का रास्ता: $\sigma_X = \sqrt\{9\} = 3$, $\sigma_Y = \sqrt\{16\} = 4$। $r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y} = \frac\{6\}{3 \times 4} = \frac\{6\}\{12\} = 0.5$।

क्यों यह प्रश्न: Regression coefficient का direct formula — deviation form में।

समाधान का रास्ता: $b_{yx} = \frac{\Sigma(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\Sigma(x-\bar{x})^2} = \frac\{60\}\{30\} = 2$। यह simplest form है — बस divide करो।

क्यों यह प्रश्न: r = √(byx × bxy) का direct application। Fast calculation practice के लिए।

समाधान का रास्ता: $r = \sqrt{0.8 \times 0.6} = \sqrt{0.48} \approx 0.6928 \approx 0.69$। $\sqrt{0.48}$ निकालने के लिए: $0.48 = 48/100$, $\sqrt\{48\} \approx 6.928$, इसलिए $\sqrt{0.48} \approx 0.693$।

क्यों यह प्रश्न: Raw data ($\Sigma x$, $\Sigma y$, $\Sigma x^2$, $\Sigma xy$, $n$) से regression coefficient — computational formula का direct test।

समाधान का रास्ता: $b_{yx} = \frac{n\Sigma xy - \Sigma x \cdot \Sigma y}{n\Sigma x^2 - (\Sigma x)^2}$। Numerator: $10 \times 305 - 50 \times 60 = 3050 - 3000 = 50$। Denominator: $10 \times 290 - 50^2 = 2900 - 2500 = 400$। $b_{yx} = 50/400 = 0.125$। ध्यान दो — answer 0.5 नहीं है, बल्कि 0.125 है।

आम गलतियाँ

• Variance और Standard Deviation का confusion: $r = \text{Cov}/(\sigma_X \times \sigma_Y)$ में $\sigma$ standard deviation है, variance नहीं। जो छात्र $r = 6/(9 \times 16)$ लिखते हैं, वे हमेशा गलत उत्तर पाते हैं। पहले variance का square root लो।

• दो regression lines में से coefficient गलत निकालना: $y = 2x + 3$ से $b_{yx} = 2$ निकलता है (y on x)। $x = 0.4y + 1$ से $b_{xy} = 0.4$ निकलता है (x on y)। गलती तब होती है जब दूसरी equation से $b_{yx}$ निकालने की कोशिश की जाती है — पहले equation को $y = \ldots$ form में convert करके।

• Computational formula में $(\Sigma x)^2$ की जगह $\Sigma x^2$ लिखना: Denominator में $n\Sigma x^2 - (\Sigma x)^2$ है। $(\Sigma x)^2$ पूरे sum का square है, $\Sigma x^2$ individual squares का sum। यह सबसे common calculation गलती है।

• r का sign ignore करना: $r = \sqrt{b_{yx} \times b_{xy}}$ से magnitude मिलती है, sign नहीं। Sign के लिए check करो — अगर दोनों regression coefficients negative हों, तो $r$ negative होगा। Calculator-सोच से अपने-आप positive answer लिखना गलत है।

• Mean-point property को verify किए बिना b निकालना: जब line equation और means दिए हों, तो सीधे substitute करो — यह 10 seconds का काम है। Normal algebraic method से b निकालने में 2-3 minutes लगते हैं और error भी ज्यादा होती है।

• $b_{yx} \times b_{xy} > 1$ वाले options को valid मानना: यह mathematically impossible है। अगर किसी option में यह condition हो, वह option eliminate करो बिना calculation के।

संबंधित विषय

• measures of central tendency
• measures of dispersion
• probability distributions
• variance and standard deviation
• data interpretation
• index numbers

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