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UP Police Constable गणित: प्रतिशत — अवधारणा, शॉर्टकट और हल किए गए PYQs

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अवधारणा

प्रतिशत का सीधा अर्थ है — "प्रति सौ"। जब भी तुम किसी संख्या को 100 के पैमाने पर तोलते हो, वही प्रतिशत है।

मान लो एक गाँव में 200 घर हैं और उनमें से 50 घरों में बिजली नहीं है। अब सवाल होगा — "कितने प्रतिशत घरों में बिजली नहीं है?" जवाब है: $\frac{50}{200} \times 100 = 25\%$ । बस यही है प्रतिशत की जड़।

गणित की भाषा में: यदि कोई मान $A$ है और उसे $B$ के संदर्भ में प्रतिशत के रूप में व्यक्त करना है, तो —

$A\% \text{ of } B = \frac{A \times B}{100}$

और यदि पूछा जाए कि $A$ , $B$ का कितना प्रतिशत है:

$\text{प्रतिशत} = \frac{A}{B} \times 100$

प्रतिशत और अनुपात का रिश्ता: प्रतिशत असल में एक अनुपात ही है — बस हर हमेशा 100 होता है। इसलिए जो छात्र अनुपात समझता है, वह प्रतिशत को बिना रटे हल करता है।

दिशा का फ़र्क: प्रतिशत कभी स्वतंत्र नहीं होता — हमेशा किसी "base" के सापेक्ष होता है। "V, H का 32% है" और "H, V का कितना प्रतिशत है" — ये दो अलग सवाल हैं क्योंकि base बदल गया।

UP Police Constable paper में प्रतिशत के प्रश्न तीन रूपों में आते हैं:

सीधी गणना — "किसी संख्या का X% = Y, संख्या ज्ञात करो"
वृद्धि/कमी — "पहले बढ़ाया, फिर घटाया, net change क्या"
तालिका/डेटा आधारित — pie chart या table से आय/व्यय का प्रतिशत

गहन विश्लेषण

मूल सूत्र और उनकी व्युत्पत्ति

सूत्र 1: अज्ञात मूल संख्या निकालना

यदि किसी संख्या का $P\%$ = $X$ है, तो वह संख्या: $\text{मूल संख्या} = \frac{X \times 100}{P}$

उदाहरण: किसी संख्या का 70% = 56 → मूल संख्या $= \frac{56 \times 100}{70} = 80$

सूत्र 2: प्रतिशत वृद्धि के बाद नया मान

$\text{नया मान} = \text{मूल मान} \times \left(1 + \frac{R}{100}\right)$

25% वृद्धि के लिए गुणक = $1.25$ । सो 80 का 25% बढ़ाने पर: $80 \times 1.25 = 100$ ।

सूत्र 3: प्रतिशत कमी के बाद नया मान

$\text{नया मान} = \text{मूल मान} \times \left(1 - \frac{R}{100}\right)$

सूत्र 4: व्युत्क्रम प्रतिशत (Inverse Percentage)

यदि $V = P\%$ of $H$ , तो $H = \frac{100}{P} \times V$ , अर्थात $H$ is $\frac{100}{P} \times 100\%$ of $V$ ।

जब V = 32% of H → H is $\frac{100}{32} \times 100\% = 312.5\%$ of V।

यह concept बहुत बार गलत होता है क्योंकि छात्र base नहीं बदलते। ध्यान रखो — जब base बदले, भिन्न पलट जाती है।

प्रतिशत वृद्धि और कमी का Net Change

यह सबसे ज़रूरी shortcut है जो paper में सीधे आता है:

यदि कोई संख्या पहले $R\%$ बढ़ाई जाए और फिर $R\%$ घटाई जाए:

$\text{Net change} = -\frac{R^2}{100}\%$

यह हमेशा कमी होगी (ऋणात्मक)। $R = 20$ के लिए: net change $= -\frac{400}{100} = -4\%$ ।

इसे समझो — 100 में 20% जोड़ो → 120। फिर 120 में से 20% घटाओ → $120 \times 0.8 = 96$ । net loss = 4%।

सूत्र 5: प्रतिशत परिवर्तन (Percentage Change)

$\text{प्रतिशत परिवर्तन} = \frac{\text{नया मान} - \text{पुराना मान}}{\text{पुराना मान}} \times 100$

ध्यान दो — हर में पुराना मान (base) जाता है, नया नहीं। यह गलती परीक्षा में बहुत होती है।

तालिका/डेटा प्रश्न हल करने की विधि

Step 1: कुल मान note करो। Step 2: जिस category का प्रश्न है, उसका प्रतिशत निकालो। Step 3: सीधा गुणा करो — $\frac{\text{प्रतिशत}}{100} \times \text{कुल मान}$ ।

उदाहरण: कुल आय = ₹57,000, मकान का किराया = 20%। किराया = $\frac{20}{100} \times 57000 = ₹11,400$ । शेष = $57000 - 11400 = ₹45,600$ ।

चुनाव वाले प्रश्न

जब दो उम्मीदवारों के बीच % का अंतर पता हो: $\text{वोटों का अंतर} = \frac{\text{प्रतिशत अंतर}}{100} \times \text{कुल वोट}$

P = 42%, Q = 58%, अंतर = 16%। कुल वोट = 4500। Q को P से अधिक वोट = $\frac{16}{100} \times 4500 = 720$ ।

कुल अंक का प्रतिशत

$\text{प्राप्त प्रतिशत} = \frac{\text{प्राप्त अंकों का योग}}{\text{कुल अंक}} \times 100$

गणना में जल्दी के लिए — पहले सभी अंक जोड़ो, फिर एक ही बार भाग दो।

शॉर्टकट और युक्तियाँ

patternभिन्न-से-प्रतिशत रूपांतरण तालिका

आम प्रतिशत को भिन्न में याद रखो और calculation 10 गुना तेज़ करो:

$10\% = \frac{1}{10}$ , $20\% = \frac{1}{5}$ , $25\% = \frac{1}{4}$ , $33.33\% = \frac{1}{3}$ , $50\% = \frac{1}{2}$ , $12.5\% = \frac{1}{8}$ , $16.67\% = \frac{1}{6}$

उदाहरण: 57000 का 20% निकालना है। Calculator method: $57000 \times 0.2 = 11400$ — इसमें 3 steps। Fraction method: $57000 \div 5 = 11400$ — 1 step।

standard method: 25 सेकंड vs shortcut: 8 सेकंड।

patternNet Change शॉर्टकट — R% up then R% down

जब भी कोई संख्या R% बढ़ाई जाए और फिर R% घटाई जाए — सीधे formula लगाओ:

$\text{Net change} = -\frac{R^2}{100}\%$

R = 10 → Net = -1%, R = 20 → Net = -4%, R = 25 → Net = -6.25%।

ये तीन values याद रखो — exam में सीधे आती हैं। लंबी calculation की ज़रूरत नहीं।

standard method: 6 steps (गुणा-घटाव-प्रतिशत) vs shortcut: 1 formula application — 40 सेकंड बचाओ।

substitutionव्युत्क्रम प्रतिशत — base पलटने की चाल

जब A, B का P% हो और पूछा जाए B, A का कितना %:

सीधे $\frac{100}{P} \times 100\%$ लगाओ।

V = 32% of H → H is $\frac{100}{32} \times 100 = 312.5\%$ of V।

कभी भी उलटा calculation (100 - 32 = 68) मत करो — वह बिल्कुल अलग formula है।

standard method: अनुमान से हल — 60 सेकंड से ज़्यादा। shortcut: $100 \div P \times 100$ — 15 सेकंड।

patternMultiplier तकनीक — वृद्धि/कमी के लिए

प्रतिशत वृद्धि/कमी को multiplier में बदलो:

25% वृद्धि → $\times 1.25$
20% कमी → $\times 0.8$
10% वृद्धि → $\times 1.1$
15% कमी → $\times 0.85$

80 में 25% वृद्धि: $80 \times 1.25 = 100$ — एक ही step।

standard method: $80 + (80 \times 25/100) = 80 + 20 = 100$ — 3 steps। Multiplier: 1 step।

estimationअंकों का योग पहले — फिर प्रतिशत

जब multiple subjects के अंकों का प्रतिशत निकालना हो, पहले सभी अंकों को जोड़ो, फिर एक बार भाग दो।

गलती: हर subject का % अलग निकालना और फिर जोड़ना। सही: सब जोड़ो → एक भाग।

72+88+65+79+81 = 385। फिर $\frac{385}{500} \times 100 = 77\%$ ।

5 अलग calculations की जगह 1 addition + 1 division — 45 सेकंड बचते हैं।

तेज़-समाधान रूपरेखा

परीक्षा हॉल में प्रतिशत का प्रश्न देखते ही यह decision tree follow करो:

Step 1 — प्रश्न का प्रकार पहचानो:

"X% = कोई मान, मूल संख्या ज्ञात करो" → $\frac{\text{मान} \times 100}{X}$
"A, B का P% है, तो B, A का कितना %" → $\frac{100}{P} \times 100\%$
"R% बढ़ाया, फिर R% घटाया" → $-\frac{R^2}{100}\%$ सीधे लिखो
"Table/Pie से कोई category का amount" → $\frac{\%}{100} \times \text{कुल}$
"दो उम्मीदवारों का अंतर" → $\frac{\text{% का अंतर}}{100} \times \text{कुल वोट}$

Step 2 — Base confirm करो: हर calculation से पहले पूछो — "प्रतिशत किस चीज़ का है?" Base गलत होने पर सही formula से भी गलत उत्तर आएगा।

Step 3 — Multiplier या Fraction: 25%, 20%, 10%, 50% जैसे आम values के लिए भिन्न/multiplier तुरंत लगाओ। Long division में मत फँसो।

Step 4 — Options देखो: यदि options बहुत अलग हैं (जैसे 312.5% बनाम 264.5%), तो rough estimate से ही eliminate करो। Exact calculation में समय मत गँवाओ।

हल किए गए PYQs

क्यों यह प्रश्न: यह दो-चरण वाला प्रश्न है — पहले मूल संख्या निकालो, फिर उस पर वृद्धि। यह combination UP Police paper में बार-बार आता है।

समाधान का रास्ता: मूल संख्या = $\frac{56 \times 100}{70} = 80$ । 25% वृद्धि: $80 \times 1.25 = 100$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

यदि किसी संख्या का 70%, 56 है, तो उस संख्या को 25% बढ़ाने के बाद उसका मान क्या होगा?

Solutionसमाधान

70% of number = 56 → number = 56×100/70 = 80. After 25% increase: 80 × 1.25 = 100.

क्यों यह प्रश्न: व्युत्क्रम प्रतिशत (inverse percentage) का शुद्ध प्रश्न। Base बदलने पर भिन्न कैसे पलटती है — यही पूछा गया है।

समाधान का रास्ता: V = 32% of H → H is $\frac{100}{32} \times 100 = 312.5\%$ of V। Options में 312.5% है — यही सही उत्तर।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

If V is 32% of H, then what percent of V is H?

यदि V, H का 32% है, तो H, V का कितना प्रतिशत है?

198.5%
312.5%
264.5%
426.5%

312.5%
264.5%
198.5%
426.5%

Solutionसमाधान

V = 32% of H → H = (100/32) × V = 3.125 × V = 312.5% of V.

क्यों यह प्रश्न: Table-based प्रतिशत प्रश्न जिसमें एक category का amount निकालकर शेष ज्ञात करना है। Data Interpretation का सबसे बुनियादी pattern।

समाधान का रास्ता: मकान किराया = 20% of 57,000 = $\frac{20}{100} \times 57000 = 11,400$ । शेष = $57,000 - 11,400 = 45,600$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

The table given represents the domestic expenditure of a family in percentage. Study the table and answer the question. (Note: The total monthly income of the family is Rs. 57,000) Expenditure: Provident Fund 10%, Food 28%, Medical 12%, Child Education 22%, House Rent 20%, Entertainment 8%. What is the remaining monthly income after deducting house rent expense from the total income?

दी गई तालिका में एक परिवार के घरेलू व्यय को प्रतिशत में दर्शाया गया है। (नोट: परिवार की कुल मासिक आय 57,000 रुपये है) व्यय: भविष्य निधि 10%, भोजन 28%, चिकित्सा 12%, बच्चों की शिक्षा 22%, मकान का किराया 20%, मनोरंजन 8%। कुल आय में से घर के किराए का खर्च घटाने के बाद शेष मासिक आय कितनी है?

Rs. 48,440
Rs. 45,600
Rs. 40,450
Rs. 47,300

40,450 रुपये
47,300 रुपये
48,440 रुपये
45,600 रुपये

Solutionसमाधान

House rent = 20% of 57,000 = 11,400. Remaining = 57,000 − 11,400 = 45,600.

क्यों यह प्रश्न: प्रतिशत वृद्धि का formula। 2020 से 2022 — base वर्ष 2020 है, 2022 नहीं। Base गलत चुनने पर option 3 (100%) चुन बैठते हैं।

समाधान का रास्ता: वृद्धि = 80 - 35 = 45। $\frac{45}{35} \times 100 = 128.57\%$ । Note: explanation में 114.33% लिखा है पर correct answer 128.57% है — answer key और explanation verify करो।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

A company's revenue (in Rs. lakhs) for five years is listed as: 2018: 40, 2019: 55, 2020: 35, 2021: 65, 2022: 80. What is the percentage increase in revenue from 2020 to 2022?

एक कंपनी का पाँच वर्षों का राजस्व (लाख रुपये में) इस प्रकार दिया गया है: 2018: 40, 2019: 55, 2020: 35, 2021: 65, 2022: 80. 2020 से 2022 तक राजस्व में कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई है?

120%
128.57%
100%
114.33%

100%
114.33%
120%
128.57%

Solutionसमाधान

Increase = 80−35 = 45. Percentage increase = (45/35)×100 = 128.57%.

क्यों यह प्रश्न: Multiple values का योग करके एकल प्रतिशत निकालना। जोड़ में गलती हो तो पूरा प्रश्न गलत — इसीलिए addition ध्यान से करो।

समाधान का रास्ता: 72+88 = 160, 160+65 = 225, 225+79 = 304, 304+81 = 385। $\frac{385}{500} \times 100 = 77\%$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

एक छात्र ने पाँच विषयों में निम्न अंक प्राप्त किए: अंग्रेजी: 72, गणित: 88, विज्ञान: 65, सामाजिक अध्ययन: 79, हिंदी: 81। कुल 500 अंकों में से छात्र ने कितने प्रतिशत अंक प्राप्त किए?

Solutionसमाधान

Total marks = 72+88+65+79+81 = 385. Percentage = (385/500)×100 = 77%.

क्यों यह प्रश्न: दो उम्मीदवारों के बीच वोट का अंतर — % का अंतर सीधे कुल वोट पर लगाओ।

समाधान का रास्ता: % अंतर = 58 - 42 = 16%। अतिरिक्त वोट = $\frac{16}{100} \times 4500 = 720$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

दो उम्मीदवार P और Q एक चुनाव में क्रमशः 42% और 58% वोट प्राप्त करते हैं। यदि वोटों की कुल संख्या 4500 थी, तो Q को P से कितने अधिक वोट मिले?

Solutionसमाधान

Difference in percentage = 58% - 42% = 16%. Extra votes for Q = 16% of 4500 = 720.

क्यों यह प्रश्न: Net change formula का सीधा application। R% up फिर R% down — हमेशा नुकसान होता है।

समाधान का रास्ता: Net change = $-\frac{20^2}{100} = -\frac{400}{100} = -4\%$ । यानी 4% कमी।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

A number is first increased by 20% and then decreased by 20%. What is the net percentage change?

एक संख्या पहले 20% बढ़ाई जाती है और फिर 20% घटाई जाती है। शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन क्या है?

4% decrease
0% (no change)
6% decrease
8% increase

6% कमी
4% कमी
8% वृद्धि
0% (कोई परिवर्तन नहीं)

Solutionसमाधान

Net change = -( r²/100)% = -(400/100)% = -4%, i.e., a 4% decrease.

क्यों यह प्रश्न: "कितने प्रतिशत विषयों में अनुत्तीर्ण" — यहाँ हर = 6 subjects है, कुल अंक नहीं। Base पहचानना ज़रूरी है।

समाधान का रास्ता: अंग्रेज़ी में 68 अंक हैं जो 70 से कम हैं। सिर्फ़ 1 विषय में अनुत्तीर्ण। $\frac{1}{6} \times 100 = 16.67\%$ ।

Previous Year Questionपिछले वर्ष का प्रश्न2026

A student's marks in six subjects are shown as: Physics: 78, Chemistry: 82, Mathematics: 90, Biology: 74, English: 68, Computer: 86. If the passing mark is 70 in each subject, what percentage of subjects did the student fail in?

एक छात्र के छह विषयों के अंक इस प्रकार हैं: भौतिकी: 78, रसायन विज्ञान: 82, गणित: 90, जीव विज्ञान: 74, अंग्रेज़ी: 68, कंप्यूटर: 86। यदि प्रत्येक विषय में उत्तीर्ण होने के लिए 70 अंक आवश्यक हैं, तो छात्र कितने प्रतिशत विषयों में अनुत्तीर्ण हुआ?

12.14%
13.21%
16.67%
15%

16.67%
13.21%
15%
12.14%

Solutionसमाधान

Only English (68) is below 70. Failed in 1 out of 6 subjects = (1/6)×100 = 16.67%.

आम गलतियाँ

Base गलत चुनना: "A, B का P% है" और "B, A का कितना %" — इन दोनों में base अलग है। पहले में B base है, दूसरे में A। Base बिना सोचे formula लगाने पर option-trap में फँसते हो।
प्रतिशत वृद्धि में पुराना vs नया value: प्रतिशत वृद्धि हमेशा पुराने मान पर calculate होती है। "120 में से 20% घटाओ" में base 120 है, 100 नहीं। यह गलती net change प्रश्नों में सबसे ज़्यादा होती है।
Net change में ±R का भ्रम: 20% बढ़ाकर 20% घटाने पर 0% बदलाव नहीं होता। Net change हमेशा $-R^2/100\%$ है। Zero बदलाव वाला option trap है।
Table प्रश्न में गलत category: तालिका में कई rows होती हैं और प्रश्न एक specific category पर होता है। जल्दी में गलत row की value उठा लेते हो — हर बार row का नाम confirm करो।
% of total vs % failed subjects: "कितने प्रतिशत अनुत्तीर्ण" में base = कुल subjects है, कुल अंक नहीं। $\frac{1}{6}$ को 6% नहीं, 16.67% पढ़ो।
जोड़ में जल्दबाज़ी: 5-6 अंकों का योग करते समय careless addition सबसे बड़ी गलती है। एक गलत digit पूरा प्रतिशत बदल देती है। योग दोबारा check करने की आदत डालो।

UP Police Constable गणित: प्रतिशत — अवधारणा, शॉर्टकट और हल किए गए PYQs

अवधारणा

गहन विश्लेषण

मूल सूत्र और उनकी व्युत्पत्ति

प्रतिशत वृद्धि और कमी का Net Change

तालिका/डेटा प्रश्न हल करने की विधि

चुनाव वाले प्रश्न

कुल अंक का प्रतिशत

शॉर्टकट और युक्तियाँ

तेज़-समाधान रूपरेखा

हल किए गए PYQs

आम गलतियाँ

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